Продольная и поперечная деформация. Продольные и поперечные деформации закон гука Продольная и поперечная деформация связь между ними

Отношение абсолютного удлинения стержня к его первоначальной длине называетсяотносительным удлинением (– эпсилон) или продольной деформацией. Продольная деформация – это безразмерная величина. Формула безразмерной деформации:

При растяжении продольная деформация считается положительной, а при сжатии – отрицательной.
Поперечные размеры стержня в результате деформирования также изменяются, при этом при растяжении они уменьшаются, а при сжатии – увеличиваются. Если материал является изотропным, то его поперечные деформации равны между собой:
.
Опытным путем установлено, что при растяжении (сжатии) в пределах упругих деформаций отношение поперечной деформации к продольной является постоянной для данного материала величиной. Модуль отношения поперечной деформации к продольной, называемый коэффициентом Пуассона иликоэффициентом поперечной деформации, вычисляется по формуле:

Для различных материалов коэффициент Пуассона изменяется в пределах. Например, для пробки, для каучука, для стали, для золота.

Закон Гука
Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации
Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

Здесь - сила, которой растягивают (сжимают) стержень, - абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а - коэффициент упругости (или жёсткости).
Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения и длины) явно, записав коэффициент упругости как

Величина называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.
Если ввести относительное удлинение

И нормальное напряжение в поперечном сечении

То закон Гука в относительных единицах запишется как

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.
Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

Модуль Юнга
Модуль Юнга (модуль упругости) - физическая величина, характеризующая свойства материала сопротивляться растяжению/сжатию при упругой деформации.
Модуль Юнга рассчитывается следующим образом:

Где:
E - модуль упругости,
F - сила,
S - площадь поверхности, по которой распределено действие силы,
l - длина деформируемого стержня,
x - модуль изменения длины стержня в результате упругой деформации (измеренного в тех же единицах, что и длина l).
Через модуль Юнга вычисляется скорость распространения продольной волны в тонком стержне:

Где - плотность вещества.
Коэффициент Пуассона
Коэффициент Пуассона (обозначается как или) - абсолютная величина отношения поперечной к продольной относительной деформации образца материала. Этот коэффициент зависит не от размеров тела, а от природы материала, из которого изготовлен образец.
Уравнение
,
где
- коэффициент Пуассона;
- деформация в поперечном направлении (отрицательна при осевом растяжении, положительна при осевом сжатии);
- продольная деформация (положительна при осевом растяжении, отрицательна при осевом сжатии).

Иметь представление о продольных и поперечных деформациях и их связи.

Знать закон Гука, зависимости и формулы для расчета на­пряжений и перемещений.

Уметь проводить расчеты на прочность и жесткость ста­тически определимых брусьев при растяжении и сжатии.

Деформации при растяжении и сжатии

Рассмотрим деформацию бруса под действием продольной силы F (рис. 4.13).

Начальные размеры бруса: - начальная длина, - начальная ширина. Брус удлиняется на величину Δl; Δ1 - абсолютное удлинение. При растя­жении поперечные размеры уменьшают­ся, Δ а - абсолютное сужение; Δ1 > 0; Δ а <0.

При сжатии выполняется соотноше­ние Δl < 0; Δ а > 0.

В сопротивлении материалов приня­то рассчитывать деформации в относи­тельных единицах: рис.4.13

Относительное удлинение;

Относительное сужение.

Между продольной и поперечной деформациями существует зависимость ε′=με, где μ – коэффициент поперечной деформации, или коэффициент Пуассона, - характеристика пластичности материала.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Теоретическая механика

Теоретическая механика.. введение.. любое явление в ок ружающем нас макромире связано с движением следовательно не может не иметь того или иного..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Аксиомы статики
Условия, при которых тело может находиться в равновесии, выводиться из нескольких основных положений, применяемых без доказательств, но подтвержденных опытом и называемых аксиомами статики.

Связи и реакции связей
Все законы и теоремы статики справедливы для свободного твердого тела. Все тела делятся на свободные и связанные. Свободным называется тело, которое не испыты

Определение равнодействующей геометрическим способом
Знать геометрический способ определения равнодействующей системы сил, условия равновесия плоской системы сходящихся сил.

Равнодействующая сходящихся сил
Равнодействующую двух пересекающихся сил можно опреде­лить с помощью параллелограмма или треугольника сил (4-я ак­сиома) (рис. 1.13).

Проекция силы на ось
Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора (рис. 1.15).

Определение равнодействующей системы сил аналитическим способом
Величина равнодействующей равна векторной (геометрической) сумме векторов системы сил. Определяем равнодействующую геоме­трическим способом. Выберем систему координат, определим про­екции всех зада

Условия равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме
Исходя из того, что равнодействующая равна нулю, получим: FΣ

Методика решения задач
Решение каждой задачи можно условно разделить на три этапа. Первый этап: Отбрасываем внешние связи системы тел, равновесие которой рассматривается, и заменяем их действие реакциями. Необхо

Пара сил и момент силы относительно точки
Знать обозначение, модуль и определение моментов пары сил и силы относительно точки, условия равновесия системы пар сил. Уметь определять моменты пар сил и момент силы относитель

Эквивалентность пар
Две пары сил считаются эквивалентными в том случае, если после замены одной пары другой парой механическое состояние тела не изменяется, т. е. не изменяется движение тела или не нару­шается его

Опоры и опорные реакции балок
Правило для определения направления реакций связей (рис.1.22). Шарнирно-подвижная опора допускает поворот вокруг оси шарнира и линейное перемещение параллельно опорной плос­кости.

Приведение силы к точке
Произвольная плоская система сил представляет собой систему сил, линии действия которых расположены в плоскости каким угодно образом (рис. 1.23). Возьмем силу

Приведение плоской системы сил к данной точке
Метод приведения одной силы к данной точке можно применить к какому угодно числу сил. Допустим, ч

Влияние точки приведения
Точка приведения выбрана произвольно. Произвольная плоская система сил представляет собой систему сил, линия действия которых расположены в плоскости каким угодно образом. При изменении по

Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона)
В общем случае произвольная плоская система сил приводится к главному вектору F"гл и к главному моменту Мгл относительно выбранного центра приведения, причем гла

Условие равновесия произвольно плоской системы сил
1)При равновесии главный вектор системы равен нулю (=0).

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления
Иметь представление о видах опор и возникающих реакциях в опорах. Знать три формы уравнений равновесия и уметь их использовать для определения реакций в опорах балочных систем.

Виды нагрузок
По способу приложения нагрузки делятся на сосредоточенные и распределенные. Если реально передача нагрузки происходит на пренебрежимо малой площадке (в точке), нагрузку называют сосре­доточенной

Момент силы относительно точки
Момент силы относительно оси характеризуется вра­щательным эффектом, создаваемым силой, стремящейся повернуть тело вокруг данной оси. Пусть к телу в про­извольной точке К приложена сила

Вектор в пространстве
В пространстве вектор силы проецируется на три взаимно пер­пендикулярные оси координат. Проекции вектора образуют ребра прямоугольного параллелепипеда, век­тор силы совпадает с диагональю (рис. 1.3

Приведение произвольной пространственной системы сил к центру О
Дана пространственная система сил (рис. 7.5а). Приведем ее к центру О. Силы необходимо параллельно перемещать, при этом образует­ся система пар сил. Момент каждой из этих пар равен

Некоторые определения теории механизмов и машин
При дальнейшем изучении предмета теоретической ме­ханики, в особенности при решении задач, мы столкнемся с но­выми понятиями, относящимися к науке, которая называется теорией механизмов и машин.

Ускорение точки
Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлени

Ускорение точки при криволинейном движении
При движении точки по криволинейном траектории скорость меняет свое направление. Представим себе точку М, которая за время Δt, двигаясь по криволинейной траектории, переместилас

Равномерное движение
Равномерное движение - это движение с постоянной скоро­стью: v = const. Для прямолинейного равномерного движения (рис. 2.9, а)

Неравномерное движение
При неравномерном движении численные значения скорости и ускорения меняются. Уравнение неравномерного движения в общем виде представля­ет собой уравнение третьей S = f

Простейшие движения твердого тела
Иметь представление о поступательном движении, его особенности и параметрах, о вращательном движении тела и его параметрах. Знать формулы для определения параметров поступательно

Вращательное движение
Движение, при котором по крайнем мере точки твердого тела или неизменяемой системы остаются неподвижными, называемыми вращательным; прямая линия, соединяющая эти две точки,

Частные случаи вращательного движения
Равномерное вращение (угловая скорость постоянна): ω = const. Уравнение (закон) равномерного вращения в данном случае име­ет вид: `

Скорости и ускорения точек вращающегося тела
Тело вращается вокруг точки О. Определим параметры дви­жения точки Л, расположенной на расстоянии г а от оси вращения (рис. 11.6, 11.7).

Преобразование вращательного движения
Преобразование вращательного движения осуществля­ется разнообразными механизмами, которые называются пере­дачами. Наиболее распространенными являются зубчатые и фрикционные передачи, а также

Основные определения
Сложным движением считают движение, которое можно разло­жить на несколько простых. Простыми движениями считают посту­пательное и вращательное. Для рассмотрения сложного движения точ

Плоскопараллельное движение твердого тела
Плоскопараллельным, или плоским, называется такое движение твердого тела, при котором все точки тела перемещаются парал­лельно некоторой неподвижной в рассматриваемой системе отсчета

Метод определения мгновенного центра скоростей
Скорость любой точки тела можно определять с помощью мгновенного центра скоростей. При этом сложное движение пред­ставляют в виде цепи вращений вокруг разных центров. Задача

Понятие трения
Абсолютно гладких и абсолютно твердых тел в природе не существует, и поэтому при перемещении одного тела по по­верхности другого возникает сопротивление, которое называется трением.

Трение скольжения
Трением скольжения называется трение движения, при котором скорости тел в точке касания различны по значению и (или) направлению. Трение скольжения, как и трение покоя, обуслов

Свободная и несвободная точки
Материальная точка, движение которой в пространстве не огра­ничено какими-нибудь связями, называется свободной. Задачи реша­ются с помощью основного закона динамики. Материальные то

Принцип кинетостатики (принцип Даламбера)
Принцип кинетостатики используют для упрощения решения ряда технических задач. Реально силы инерции приложены к телам, связанным с разго­няющимся телом (к связям). Даламбер предло

Работа постоянной силы на прямолинейном пути
Работа силы в общем случае численно равна произведению мо­дуля силы на длину пройденного мм пути и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения (рис. 3.8): W

Работа постоянной силы на криволинейном пути
Пусть точка М движется по дуге окружности и сила F соста­вляет некоторый угол а

Мощность
Для характеристики работоспособности и быстроты соверше­ния работы введено понятие мощности.

Коэффициент полезного действия
Способность тела при переходе из одного состояния в другое совершать работу называется энергией. Энергия есть общая мера различных форм движения и взаимодействия матери

Закон изменения количества движения
Количеством движения материальной точки называется вектор­ная величина, равная произведению массы точки на ее скорость

Потенциальная и кинитецеская энергия
Существуют две основные формы механической энергии: потен­циальная энергия, или энергия положения, и кинетическая энергия, или энергия движения. Чаще всего приходится им

Закон изменения кинетической энергии
Пусть на материальную точку массой m действует постоянная сила. В этом случае точк

Основы динамики системы материальных точек
Совокупность материальных точек, связанных между собой силами взаимодействия, называется механической системой. Любое материальное тело в механике рассматривается как меха­ническая

Основное уравнение динамики вращающегося тела
Пусть твердое тело под действием внешних сил вращается во­круг оси Oz с угловой скоростью

Моменты инерции некоторых тел
Момент инерции сплошного цилиндра (рис. 3.19) Момент инерции полого тонкостен­ного цили

Сопротивление материалов
Иметь представление о видах расчетов в сопротивлении материалов, о классификации нагрузок, о внутренних силовых факторах и возникающих деформациях, о механических напряжениях. Зн

Основные положения. Гипотезы и допущения
Практика показывает, что все части конструкций под действием нагрузок деформируются, т. е. изменяет свою форму и размеры, а в некоторых случаях происходит разрушение конструкции.

Внешние силы
Всопротивлении материалов под внешними воздейст­виями подразумевается не только силовое взаимодейст­вие, но и тепловое, возникающее из-за неравномерного изменения температурного ре

Деформации линейные и угловые. Упругость материалов
В отличие от теоретической механики, где изучалось взаимодействие абсолютно жестких (недеформируемых) тел, в сопротивлении материалов исследуется поведение конструкций, материал которых способен де

Допущения и ограничения, принятые в сопротивлении материалов
Реальные строительные материалы, из которых воз­водятся различные здания и сооружения, представляют собой довольно сложные и неоднородные твердые тела, обладающие различными свойствами. Учесть это

Виды нагрузок и основных деформаций
В процессе работы машин и сооружений их узлы и детали воспринимают и передают друг другу различные нагрузки, т. е. силовые воздействия, вызывающие изменение внутренних сил и

Формы элементов конструкции
Все многообразие форм сводится к трем видам по одному при­знаку. 1. Брус - любое тело, у которого длина значительно больше других размеров. В зависимости от форм продольной

Метод сечений. Напряжение
Знать метод сечений, внутренние силовые факторы, составляющие напряжений. Уметь определять виды нагружений и внутренние силовые факторы в поперечных сечениях. Для ра

Растяжение и сжатие
Растяжением или сжатием называют вид нагружения, при ко­тором в поперечном сечении бруса возникает только один внутрен­ний силовой фактор - продольная сила. Продольные силы м

Центральное растяжение прямого бруса. Напряжения
Центральным растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечения бруса возникает только продольная (нормаль­ная) сила N, а все остальные внутренние

Напряжения при растяжении и сжатии
При растяжении и сжатии в сечении действует только нормаль­ное напряжение. Напряжения в поперечных сечениях могут рассматриваться как силы, приходящиеся на единицу площади. Таким

Закон Гука при растяжении и сжатии
Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука (1635 - 1703).

Формулы для расчета перемещений поперечных сечений бруса при растяжении и сжатии
Используем известные формулы. Закон Гука σ=Еε. Откуда.

Механические испытания. Статические испытания на растяжение и сжатие
Это стандартные испыта­ния: оборудование - стандарт­ная разрывная машина, стан- дартный образец (круглый или плоский), стандартная методика расчета. На рис. 4.15 представлена схема

Механические характеристики
Механические характеристики материалов, т. е. величины, характеризующие их прочность, пластичность, упругость, твер­дость, а также упругие постоянные Е и υ, необходимые конструктору для

При действии растягивающих сил по оси бруса длина его увеличивается, а по­перечные размеры уменьшаются. При действии сжимающих усилий происходит обратное явление. На рис. 6 показан брус, растягиваемый двумя силами Р. В результате рас­тяжения брус удлинился на величину Δl , которая называется абсолютным удлинением, и получим абсолютное поперечное сужение Δа.

Отношение величины абсолютного удлинения и укорочения к первоначальной длине или ширине бруса называется относительной деформацией . В данном случае относительная деформация называется продольной деформацией , а - относительной поперечной деформацией . Отношение относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации называется коэффициентом Пуассона : (3.1)

Коэффициент Пуассона для каждого материала как упругая константа определяется опытным путем и находится в пределах: ; для стали .

В пределах упругих деформаций установлено, что нормальное напряжение прямо пропорционально относительной продольной деформации. Эта зависимость называется законом Гука:

, (3.2)

где Е - коэффициент пропорциональности, называемый модулем нормальной упругости .

Лекция №5

Тема: « Растяжение и сжатие »

Вопросы:

1. Нормальные напряжения при растяжении и сжатии

2. Определение продольной и поперечной деформации. Закон Гука

4. Температурные напряжения

5. Монтажные напряжения

1. Нормальные напряжения при растяжении и сжатии

Если на поверхность призматического стержня нанести сетку линий, параллельных и перпендикулярных оси стержня, и приложить к нему растягивающую силу, то можно убедиться в том, что линии сетки и после деформации останутся взаимно перпендикулярными (см. рис. 1).

Рис. 1

Все горизонтальные линии, например, cd переместятся вниз, оставаясь горизонтальными и прямыми. Можно предположить также, что и внутри стержня будет такая же картина, т.е. "поперечные сечения стержня, плоские и нормальные к его оси до деформации, останутся плоскими и нормальными к оси и после деформации". Эта важная гипотеза носит название гипотезы плоских сечений или гипотезы Бернулли. Формулы, полученные на основе этой гипотезы, подтверждаются результатами опытов.

Такая картина деформаций дает основание считать, что в поперечных сечениях действуют только нормальные напряжения, одинаковые во всех точках сечения, а касательные напряжения равны нулю. Если бы возникали касательные напряжения, то наблюдалась бы угловая деформация, и углы между продольными и поперечными линиями перестали бы быть прямыми. Если бы нормальные напряжения были не одинаковыми во всех точках сечения, го там, где напряжения выше, была бы и больше деформация, а следовательно, поперечные сечения не были бы плоскими и параллельными. Приняв гипотезу плоских сечений мы устанавливаем, что
.

Поскольку продольная сила является равнодействующей внутренних сил
, возникающих на бесконечно малых площадках (см. рис 3.2) ее можно представить в виде:

Рис. 2

Постоянные величины можно выносить за знак интеграла:

где А  площадь поперечного сечения.

Получаем формулу для нахождения нормальных напряженней при растяжении или сжатии:

(1)

Это одна из важнейших формул в сопротивлении материалов поэтому ее выделим в рамочки и также будем поступать в дальнейшем.

При растяжении положительно, при сжатии  отрицательно.

Если на брус действует только одна внешняя сила F , то

N = F ,

и напряжения можно определять по формуле:

2. Определение продольной и поперечной деформации

В упругой стадии работы большинства конструкционных материалов напряжения и деформации связаны прямой зависимостью, называемой законом Гука:

(2)

где Е  модуль продольной упругости или модуль Юнга, измеряется в МПа, характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформациям, его значения приведены в таблицax справочника;

 относительная продольная деформация, величина безразмерная, так как:

; (3)

 абсолютное удлинение стержня, м;

l  первоначальная длина, м.

Чем выше значение модуля продольной упругости Е, тем меньше деформация. Например, для стали Е=2,110 5 МПа, а для чугуна Е=(0,75…1,6)10 5 МПа, поэтому элемент конструкции из чугуна при одинаковых прочих условиях получит большую деформацию, чем со стали. Здесь не надо путать с тем, что доведенный до разрыва стержень из стали будет иметь значительно большую деформацию, чем чугунный. Речь идет не об предельной деформации, а об деформации в упругой стадии, т.е. без возникновения пластических деформаций, и при одинаковой нагрузке.

Преобразуем закон Гука, заменив из уравнения (3.3):

Подставим значение из формулы (1):

(4)

Мы получили формулу для абсолютного удлинения (укорочения) стержня. При растяжении
положительная, при сжатии  отрицательная. Произведение ЕА называют жесткостью бруса.

При растяжении стержень становится тоньше, при сжатии  толще. Изменение размеров поперечного сечения называется поперечной деформацией. Например, у прямоугольного сечения до нагружения были ширина b и высота сечения h , а после нагружения  b 1 и h 1 . Относительная поперечная деформация для ширины сечения:

для высоты сечения:

У изотропных материалов свойства одинаковы во всех направлениях. Поэтому:

При растяжении поперечная деформация отрицательна, при сжатии  положительна.

Отношение поперечной деформации к продольной называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона:

(5)

Экспериментально установлено, что в упругой стадии работы любого материала значение и постоянно. Оно лежит в пределах 00,5 и для конструкционных материалов дается в таблицах справочника.

Из зависимости (5) можно получить следующую формулу:

(6)

При растяжении (сжатии) поперечные сечения бруса перемещаются в продольном направлении. Перемещение является следствием деформации, но эти два понятия нужно четко разграничивать. Для стержня (см. рис. 3) определим величину деформации и построим эпюру перемещений.

Рис. 3

Как видно из рисунка отрезок стержня АВ не растягивается, но перемещение получит, так как удлинится отрезок СВ. Его удлинение равно:

Перемещения поперечных сечений обозначим через . В сечении С перемещение равно нулю. От сечения С до сечения В перемещение равно удлинению, т.е. возрастает пропорционально до
в сечении В. Для сечений от В до А перемещения одинаковы и равны
, так как этот отрезок стержня не деформируется.

3. Статически неопределимые задачи

Статически неопределимыми принято считать системы, усилия в которых нельзя определить с помощью только уравнений статики. Все статически неопределимые системы имеют "лишние" связи в виде дополнительных закреплений, стержней и других элементов. "Лишними" такие связи называют потому, что они не являются необходимыми с точки зрения обеспечения равновесия системы или ее геометрической неизменяемости, и их устройство преследует конструктивные или эксплуатационные цели.

Разность между количеством неизвестных и количеством независимых уравнений равновесия, которые можно составить для данной системы, характеризует число лишних неизвестных или степень статической неопределимости.

Статически неопределимые системы решают путем составления уравнений перемещения определенных точек, количество которых должно быть равно степени неопределимости системы.

Пусть на стержень, жестко заделанный обоими концами, действует сила F (см. рис. 4). Определим реакции опор.

Рис. 4

Реакции опор направим влево, так как сила F действует вправо. Поскольку вес силы действуют по одной линии можно составить лишь одно уравнение статического равновесия:

-B+F-C=0;

Итак, две неизвестные реакции опор В и С и одно уравнение статического равновесия. Система один раз статически неопределимая. Следовательно, для ее решения нужно составить одно дополнительное уравнение, основанное на перемещениях точки С. Мысленно отбросим правую опору. От силы F левая часть стержня ВД будет растягиваться и сечение С сместится вправо на величину этой деформации:

От реакции опоры С стержень будет сжиматься и сечение переместится влево на величину деформации всего стержня:

Опора не позволяет сечению С перемещаться ни влево, ни вправо, поэтому сумма перемещений от сил F и С должна равняться нулю:

|

Подставив значение С в уравнение статического равновесия, определим вторую реакцию опоры:

4. Температурные напряжения

В статически неопределимых системах при изменении температуры могут возникать напряжения. Пусть стержень, жестко заделанный с двух концов нагревается на температуру
град. (см. рис. 5).

Рис. 5

При нагревании тела расширяются, и стержень будет стремиться удлиниться на величину:

где  коэффициент линейного расширения,

l  первоначальная длина.

Опоры не дают возможности стержню удлиниться, поэтому стержень сжимается на величину:

Согласно формуле (4):

=
;

поскольку:

(7)

Как видно из формулы (7) температурные напряжения не зависят от длины стержня, а зависят лишь от коэффициента линейного расширения, модуля продольной упругости и изменения температуры.

Температурные напряжения могут достигать больших значений. Для их уменьшения в конструкциях предусматриваются специальные температурные зазоры (например, зазоры в стыках рельсов) или компенсационные устройства (например, колена в трубопроводах).

5. Монтажные напряжения

Элементы конструкции могут иметь отклонения в размерах при изготовлении (например, из-за сварки). При сборке размеры не совпадают (например, отверстия под болты), и прикладываются усилия, чтобы собрать узлы. В результате в элементах конструкции возникают внутренние усилия без приложения внешней нагрузки.

Пусть между двух жестких заделок вставлен стержень, длина которого на величину а больше расстояния между опорами (см. рис. 6). Стержень будет испытывать сжатие. Определим напряжения, используя формулу (4):

(8)

Рис. 6

Как видно из формулы (8) монтажные напряжения прямо пропорциональны погрешности в размерах а . Поэтому желательно иметь а=0 , особенно для стержней небольшой длины, так как обратно пропорционально длине.

Однако в статически неопределимых системах к монтажным напряжениям специально прибегают, чтобы повысить несущую способность конструкции.

Рассмотрим прямой брус постоянного сечения длиной l, заделанный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой Р (рис. 2.9, а). Под действием силы Р брус удлиняется на некоторую величину?l, которая называется полным, или абсолютным, удлинением (абсолютной продольной деформацией).

В любых точках рассматриваемого бруса имеется одинаковое напряженное состояние, и, следовательно, линейные деформации для всех его точек одинаковы. Поэтому значение можно определить как отношение абсолютного удлинения?l к первоначальной длине бруса l, т.е. . Линейную деформацию при растяжении или сжатии брусьев называют обычно относительным удлинением, или относительной продольной деформацией, и обозначают

Следовательно,

Относительная продольная деформация измеряется в отвлеченных единицах. Деформацию удлинения условимся считать положительной (рис. 2.9, а), а деформацию сжатия - отрицательной (рис. 2.9, б).

Чем больше величина силы, растягивающей брус, тем больше, при прочих равных условиях, удлинение бруса; чем больше площадь поперечного сечения бруса, тем удлинение бруса меньше. Брусья из различных материалов удлиняются различно. Для случаев, когда напряжения в брусе не превышают предела пропорциональности, опытом установлена следующая зависимость:

Здесь N - продольная сила в поперечных сечениях бруса;

F - площадь поперечного сечения бруса;

Е - коэффициент, зависящий от физических свойств материала.

Учитывая, что нормальное напряжение в поперечном сечении бруса получаем

Абсолютное удлинение бруса выражается формулой

т.е. абсолютная продольная деформация прямо пропорциональна продольной силе.

Впервые закон о прямой пропорциональности между силами и деформациями сформулировал Р. Гук (в 1660 г.).

Более общей является следующая формулировка закона Гука относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению. В такой формулировке закон Гука используется не только при изучении растяжения и сжатия брусьев, но и в других разделах курса.

Величина Е, входящая в формулы, называется модулем продольной упругости (сокращенно - модулем упругости). Эта величина - физическая постоянная материала, характеризующая его жесткость. Чем больше значение Е, тем меньше, при прочих равных условиях, продольная деформации.

Произведение EF называется жесткостью поперечного сечения бруса при растяжении и сжатии.

Если поперечный размер бруса до приложения к нему сжимающих сил Р обозначить b, а после приложения этих сил b+?b (рис. 9.2), то величина?b будет обозначать абсолютную поперечную деформацию бруса. Отношение является относительной поперечной деформацией.

Опыт показывает, что при напряжениях, не превышающих предела упругости, относительная поперечная деформацией прямо пропорциональна относительной продольной деформации е, но имеет обратный знак:

Коэффициент пропорциональности в формуле (2.16) зависит от материала бруса. Он называется коэффициентом поперечной деформации, или коэффициентом Пуассона, и представляет собой отношение поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине, т.е.

Коэффициент Пуассона, наряду с модулем упругости Е, характеризует упругие свойства материала.

Величина коэффициента Пуассона определяется экспериментально. Для различных материалов она имеет значения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,50 (для резины и парафина). Для стали коэффициент Пуассона равен 0,25-0,30; для ряда других метало (чугуна, цинка, бронзы, меди) он имеет значения от 0,23 до 0,36.

Таблица 2.1 Значения модуля упругости.

Таблица 2.2 Значения коэффициента поперечной деформации (коэффициент Пуассона)